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Forschungsschwerpunkte

• Monte-Carlo Simulation
• Numerische Bauelementsimulation
• Elektronisches Rauschen
• Transportmodelle für Inversionskanäle
• Gekoppelte Bauelemente- und Schaltkreissimulation
• Modellierung analoger Schaltungen

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Forschungsprojekte

GOSSAMER (2008-2010)

Helektron (2004-2006)

Full-Band Monte-Carlo Simulation of sub-100nm strained Si CMOS (2003-2005)

HG-DAT (2001-2003)

HF-Front-Ends (1997-2000)

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Forschungsüberblick

Das Institut beschäftigt sich mit der Weiterentwicklung der numerischen Bauelementsimulation. Hauptziel ist dabei die Bereitstellung von vorhersagefähigen und gleichzeitig effizienten also kostengünstigen numerischen Bauelementmodellen für die industriellen Technologieentwickler. Die experimentelle und theoretische Verifikation der Vorhersagefähigkeit der beim Technologiedesign zum Einsatz kommenden Bauelementmodelle ist eine mit diesem Ziel eng verknüpfte weitere Forschungsaufgabe. Basis dieser Forschungsarbeiten ist ein hierarchisches und in sich konsistentes Simulationssystem, das von der Transportparametersimulation basierend auf der Boltzmannschen Transportgleichung und Monte-Carlo Methoden bis hin zur Schaltkreissimulation von Grundschaltungen mit konventionellen numerischen Bauelementmodellen reicht.

Die Genauigkeit der konventionellen numerischen Bauelementmodelle, die entweder auf den hydrodynamischen (HD) oder den Drift-Diffusions (DD) Transportgleichungen beruhen, hängt sehr wesentlich von der Genauigkeit der verwendeten Transportparameter (z.B. Beweglichkeiten oder Energierelaxationszeiten) ab. Die Bestimmung aller Transportparameter auf der Grundlage von experimentellen Daten ist schon aus Kostengründen nicht möglich. Dies trifft insbesondere auf Verbundhalbleitermaterialien wie SiGe zu, da bei diesen aufgrund der Vielzahl der möglichen Konzentrationsverhältnisse und mechanischen Verspannungszuständen die Menge der relevanten Transportparameterdaten stark zugenommen hat. Hier bietet die Transportparametersimulation auf der Basis der Boltzmannschen Transportgleichung mit Monte-Carlo Methoden einen Ausweg. Bei dieser Methode wird das Transportverhalten eines Halbleiters auf seine Bandstruktur und wenige elementare Streumodelle zurückgeführt, wodurch bei Verbundhalbleitern das Problem der Transportparameterbestimmung erst handhabbar wird. Gleichzeitig erlaubt diese Methode auch eine optimale Ausnutzung der wenigen vorhandenen experimentellen Transportparameterdaten zur Genauigkeitssteigerung. Als Teil des oben erwähnten Simulationssystems steht daher ein experimentell verifizierter Monte-Carlo Materialsimulator zur Bestimmung beliebiger Transportparameter in verspanntem und unverspanntem Si und SiGe zur Verfügung. Dabei kann die vollständige Bandstruktur des betrachteten Halbleitermaterials in die Transportparametersimulationen einfließen. Ein weiterer Simulator erlaubt in Verbindung mit der Lösung der Schrödinger Gleichung auch die Bestimmung von Transportparametern in MOS Inversionsschichten.

Die konventionelle numerische Bauelementsimulation basierend auf den DD oder HD Transportgleichungen ist heute ein unverzichtbares Hilfsmittel beim Design von Technologien für integrierte Schaltungen. Dabei ist die Vorhersagefähigkeit und Effizienz der eingesetzten Bauelementmodelle sehr wichtig. Für die konventionelle numerische Bauelementsimulation steht im Simulationssystem der Forschungsgruppe der zweidimensionale numerische Bauelementsimulator GALENE III zur Verfügung, der auch die Basis für die Zusammenarbeit mit der Industrie darstellt. Gegenüber anderen konventionellen numerischen Modellen zeichnet sich GALENE III besonders durch seine hohe Flexibilität bei der Wahl der Lösungsalgorithmen und durch die Verfügbarkeit von genauen und verifizierten nicht lokalen Modellen für die Simulation der Stoßionisation und das Band-Band Tunneln aus. Ferner verfügt GALENE III über flexible Schnittstellen zur Prozeßsimulation und zur Transportparametersimulation und ermöglicht daher konventionelle Bauelementsimulationen mit einem höchstmöglichen Grad an Konsistenz zur Monte-Carlo Bauelementsimulation. Diese Konsistenz ist eine Grundvoraussetzung für die theoretische Verifikation der konventionellen Bauelementsimulation mittels der Monte-Carlo Bauelementsimulation. Die Monte-Carlo Bauelementsimulation, die auf der gekoppelten Lösung von Boltzmannscher Transportgleichung und Poisson Gleichung beruht, wird aus zwei Gründen immer wichtiger auch für das industrielle Technologiedesign, das nach wie vor fast ausschließlich durch die konventionelle Bauelementsimulation unterstützt wird. Da die Monte-Carlo Bauelementsimulation aufgrund Ihrer besseren theoretischen Fundierung prinzipiell der konventionellen numerischen Bauelementsimulation überlegen ist, können Monte-Carlo Referenzsimulation erstens zur Genauigkeitsprüfung der konventionellen numerischen Bauelementsimulation eingesetzt werden. Zweitens ist die auf der vollständigen Bandstruktur beruhende Monte-Carlo Bauelementsimulation zur Zeit das einzige bekannte Verfahren, das vorhersagefähig das Verhalten von hochenergetischen Elektronen, die zum Beispiel MOS Gateströme verursachen, beschreiben kann. Hier wird es in Zukunft daher notwendig sein, die Monte-Carlo Bauelementsimulation direkt beim industriellen Technologiedesign einzusetzen. Zur Effizienzsteigerung ist es dabei möglich, das Monte-Carlo Verfahren als Postprocessor auf die Ergebnisse der konventionellen Bauelementsimulation aufzusetzen. Im Simulationssystem der Forschungsgruppe stehen Monte-Carlo Bauelementsimulatoren für Si- und SiGe-Bauelemente zur Verfügung, die sowohl die vollständige Bandstruktur als auch geeignet gewählte analytische Bandstrukturinformationen verarbeiten können. Damit Referenzsimulationen zur Überprüfung der Genauigkeit der konventionellen Bauelementmodelle möglich sind, wurde großer Wert auf die Konsistenz der Bandstruktur- und Streumodelle bei der Monte-Carlo Transportparameter- und Bauelementsimulation gelegt.

Die Schaltkreissimulation wird üblicherweise mit analytischen Bauelementmodellen durchgeführt, da die numerischen Bauelementmodelle wie das DD- oder HD-Modell um etwa drei Größenordnungen langsamer sind als die analytischen Modelle. Die Schaltkreissimulation gekoppelt mit numerischer Bauelementsimulation für einzelne Komponenten eröffnet jedoch völlig neue Möglichkeiten. So erlaubt diese Simulationsmethode eine direkte Darstellung der stationären und transienten Schaltkreiseigenschaften einer Bauelementfamilie als Funktion von technologienahen, physikalischen Parametern wie Bauelementdotierung und Bauelementgeometrie. Dadurch lassen sich die Schaltkreiseigenschaften von Bauelementen direkt als Funktion von Dotierung und Geometrie optimieren. Weiterhin eröffnet diese Simulationsmethode ideale Möglichkeiten bei der Entwicklung von analytischen Bauelementmodellen für die Schaltkreissimulation und deren Genauigkeitsüberprüfung. Im Simulationssystem der Forschungsgruppe steht für diese Simulationsmethode das Schaltkreissimulationsprogramm CEDUSA zur Verfügung, das über einen Client/Server Ansatz in Verbindung mit GALENE III Schaltkreissimulationen mit numerischen Bauelementmodellen auf einem UNIX Workstationnetz ermöglicht. 

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Monte-Carlo Simulation von Si und SiGe Bauelementen

Die Monte-Carlo Methode ist ein stochastisches Verfahren mit dem die semiklassische Boltzmanntransportgleichung gelöst werden kann. Dabei wird die mikroskopische Bewegung der Elektronen (und Löcher) im Halbleiter nachvollzogen. Diese setzt sich zusammen aus stoßlosen Flügen, die durch die Newtonschen Bewegungsgleichungen beschrieben werden, und Streuungen aufgrund von Wechselwirkungen mit Störstellen, Phononen, usw. So lenkt zum Beispiel ein geladenes Dotierstoffatom ein Elektron durch die Coulombwechselwirkung ab. Da die Lage der Dotierstoffatome zufällig ist, wird auch die Bahn des Elektrons zufällig.

Elektrisches Feld von 100kV/cm in negative x-Richtung

Abb. 1: Bewegung eines Elektrons in homogenen Silizium (von links nach rechts)
Jede abrupte Änderung der Bewegung wird durch ein Streuereignis verursacht. Die freie Flugzeit zwischen zwei Streuereignissen wird mittels einer Zufallszahl und der entsprechenden Streurate bestimmt. Ebenso wird der Nachstoßzustand des Elektrons mit Zufallszahlen entsprechend der Übergangsrate des Streuprozesses berechnet. Dadurch wird mit der Monte-Carlo Methode die zufällige Bewegung der Elektronen im Halbleiter nachgebildet. Es wird also eine exakte Integrodifferenzialgleichung (die Boltzmantransportgleichung) durch Würfeln gelöst. Diese zufällige Bewegung ist auch die Ursache für das elektronische Rauschen. Da die Bewegung des Elektrons stark zufällig ist, muss man mehr als ein Elektron simulieren und erhält zuverlässige Ergebnisse nur durch Mittelung über ein hinreichend großes Teilchenensemble.

Abb. 2: Elektronengeschwindigkeit in homogenen Silizium für ein elektrisches Feld von 100kV/cm gemittelt über ein, hundert und zehntausend Teilchen
Der stochastische Fehler der Simulation ist invers proportional zur Wurzel aus der Teilchenzahl. Die Simulationen konvergieren daher nur langsam und die Monte-Carlo Methode ist sehr rechenintensiv.

Aufgrund der mikroskopischen Beschreibung des Teilchentransports können physikalische Effekte auf eine sehr fundamentale Art und Weise berücksichtigt werden. Zum Beispiel kann die vollständige Energiebandstruktur des Halbleiters berücksichtigt werden.

Abb. 3: Schnitt durch das erste Valenzband von Silizium und eine Äquienergiefläche
Die verworfene Struktur des Valenzbands macht es praktisch unmöglich, die Bandstruktur mit einfachen analytischen Funktionen zu beschreiben.

Abb. 4: Erstes Leitungsband von Silizium
Deutlich sind die Rotationsellipsoiden der sechs Minima des ersten Leitungsbands von Silizium zu erkennen. Diese komplizierte Bandstruktur wird mit speziellen Tetraedergittern diskretisiert.

Abb. 5: Schnitt durch das Gitter des ersten Leitungsbands von Silizium
Das Gitter ist nur an den Stellen, wo die zweite Abbleitung der Energie groß ist, besonders fein. Ansonsten ist das Gitter gröber, wodurch sich die Zahl der Gitterpunkte minimieren lässt.

Für eine Monte Carlo Simulation benötig man noch neben der Bandstruktur Streuprozesse. Der wichtigste Streuprozess ist die Phononstreuung. Phononen sind die Quasiteilchen der thermischen Gitterschwingungen. Ihre Streurate wächst mit der Energie an:

Abb. 6: Elektron- und Lochphononstreurate für Silizium bei Raumtemperatur
Dies ist der Grund für die Sättigung der Geschwindigkeit bei hohen elektrischen Feldern. Wenn die Teilchen einem elektrischen Feld ausgesetzt werden, nimmt ihre Energie zu und damit ihre Streuwahrscheinlichkeit. Dies wiederum reduziert die mittlere freie Flugzeit und die Teilchen werden häufiger gestreut. Bei der Streuung verlieren die Teilchen nicht nur ihre Geschwindigkeit, sondern geben auch Energie über Phononen an das Kristallgitter ab, was zur Erwärmung des Halbleiters führt. Es stellt sich ein dynamisches Gleichgewicht zwischen Energieaufnahme aus dem elektrischen Feld und Abgabe durch Phononen ein. In der nächsten Abbildung ist dies gezeigt für ein Elektronenensemble. Zu Anfang befinden sich die Elektronen im Gleichgewicht. Dann wird zum Zeitpunkt 0ps ein elektrisches Feld von 100kV/cm eingeschaltet. Dadurch werden die Elektronen stark beschleunigt und ihre mittlere Geschwindigkeit nimmt zu. Die mittlere Energie nimmt ebenfalls zu, jedoch nicht so schnell. Daher kommt es zu sogenannten "Velocity overshoot", bei dem die aktuelle Geschwindigkeit über dem stationären Endwert liegt:

Abb. 7: Einschwingvorgang der Geschwindigkeit und Energie für Elektronen in Silizium, wenn zum Zeitpunkt 0ps ein elektrisches Feld von 100kV/cm plötzlich eingeschaltet wird. Beide Größen sind auf ihre Sättigungswerte bezogen
Mit zunehmender Teilchenenergie steigt sinkt dann die mittlere freie Flugzeit und die Elektronen werden wieder langsamer und es stellt sich der stationäre Grenzwert ein.

Betreuer von Arbeiten auf diesem Gebiet:

t. b. d.

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Numerische Simulation von Si und SiGe Bauelementen

Betreuer von Arbeiten auf diesem Gebiet:

t. b. d.

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Simulation des elektronischen Rauschens in Si und SiGe Bauelementen

Elektronisches Rauschen wird in Halbleiterbauelementen durch Streuung und Generation/Rekombination von Elektronen und Löchern erzeugt. Die unregelmäßige Bewegung der Teilchen führt aufgrund des Verschiebungsstroms zu einem fluktuierenden Kontaktstrom:


Abb. 1: Kontaktstrom einer einfachen Halbleiterstruktur im Gleichgewicht
Als Fluktuationen bezeichnet man die temporären Abweichungen des Stroms von seinem Erwartungswert (Mittelwert), welcher in Abb. 1 null ist, da keine Spannung angelegt wurde. Charakterisiert wird das Rauschen durch die spektrale Leistungsdichte der Fluktuationen, die man als Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion der Fluktuationen errechnet. Sie gibt die mittlere Rauschleistung pro Frequenz an:


Abb. 2: Spektrale Leistungsdichte der Kontaktstromfluktuationen aus Abb. 1
Man erkennt, dass der Strom insbesondere im THz-Bereich fluktuiert. Dies ist durch die Kopplung des Rauschens an Plasmaschwingungen im Bauelement bedingt. Für die ingenieurmäßige Anwendung spielt dies keine Rolle, da Schwingungen so hoher Frequenz durch die in einem Schaltkreis vorhandenen Kapazitäten stark gedämpft werden. Von Interesse ist eher das Rauschen unterhalb von 100GHz, das hier in guter Näherung als weiß (frequenzunabhägig) angenommen werden kann. Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Z. B. ist das Drainrauschen in einem SOI-MOSFET stark frequenzabhängig:


Abb. 3: Spektrale Leistungsdichte der Drainstromfluktuationen eines SOI-NMOSFETs für eine Gatespannung von einem Volt
Dies ist durch Rückkopplungseffekte im SOI-Bauelement bedingt. Berechnet wird die spektrale Leistungsdichte mit numerischen Bauelementmodellen, da die Monte-Carlo-Simulation für solche Berechnungen zu langsam ist. Verglichen mit Messungen liefern unsere Modelle gute Ergebnisse:


Abb. 4: Minimale Rauschzahl für NMOSFETs mit unterschiedlichen Gatelängen (Messungen: Philips Research, Eindhoven)

Betreuer von Arbeiten auf diesem Gebiet:

t. b. d.

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Transportmodelle für Inversionskanäle

Der MOSFET (Metall-Oxid-Silizium-Feldeffekttransistor) ist ein wichtiges Bauelement in integrierten Schaltungen. In Abbildung 1 ist der prinzipielle Aufbau einer nMOSFET-Struktur im Querschnitt gezeigt.


Abb. 1: Querschnitt einer n-MOSFET-Struktur
Im normalen Betrieb werden an der Si/SiO₂- Grenzfläche Elektronen (Löcher im pMOSFET) induziert und es bildet sich eine dünne Elektronenschicht (Löcherschicht im pMOSFET) zwischen den Source- und Drain-Gebieten aus. Diese Schicht wird als Inversionskanal bezeichnet. Da einerseits die räumliche Ausdehnung des Inversionskanals in das Siliziumsubstrat hinein mit der Größenordnung der de Broglie-Wellenlänge von Elektronen vergleichbar ist und andererseits diese Schichtausdehnung aufgrund der in modernen CMOS-Technologien verwendeten geringen Oxiddicke und hohen Kanaldotierung abnimmt, sind Quanteneffekte bei der numerischen Simulation von MOSFETs nicht mehr zu vernachlässigen.

Die exakte Berücksichtigung der Quanteneffekte erfordert zusätzlich die Lösung der Schrödinger-Gleichung bei der Berechnung der Ladungsträgerdichte, die für die Bestimmung wichtiger Kenngrößen von MOSTETs, wie z.B. der Thresholdspannung, von großer Wichtigkeit ist. Die Ladungsträgerdichte wird hierbei mit Hilfe der Wellenfunktionen (siehe Abb. 2) bestimmt, die sich aus der Lösung der Schrödinger-Gleichung ergeben.

Abb. 2: Die drei ersten Eigenwerte und zugehörigen Wellenfunktionen der Elektronen im Inversionskanal.
Aufgrund der Randbedingungen der Schrödinger-Gleichung verringert sich die quantenmechanisch berechnete Ladungsträgerdichte an der SiO₂/Si-Grenzfläche. Damit verschiebt sich der Ladungsschwerpunkt von der SiO₂/Si-Grenzfläche um einige nm in den Bulk im Vergleich zu der klassisch berechneten Ladungsträgerdichte (siehe Abb. 3). Diese Änderung des Verlaufs der Ladungsträgerdichte beeinflusst einerseits die effektive Oxid-Kapazität sowie die Thresholdspannung und erfordert andererseits eine neue Modellierung der Kanalbeweglichkeit.


Abb. 3: Verteilung der mit dem klassischen (CL) und quantenmechanischen (QM) Model berechneten Elektronendichte an der SiO₂/Si-Grenzfläche
Die erforderliche selbstkonsistente Lösung von Schrödinger- und Poisson-Gleichung im zweidimensionalen Bauelementsimulator führt jedoch zu einem sehr hohen Rechenzeitbedarf und Konvergenzproblemen. Aus diesem Grund werden vereinfachte Modelle zur Berechnung der Ladungsträgerdichte und die dazu konsistenten Beweglichkeitsmodelle entwickelt, in denen die Quanteneffekte näherungsweise ohne wesentliche Erhöhung der Rechenzeit berücksichtigt werden können.

Betreuer von Arbeiten auf diesem Gebiet:

t. b. d.

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Gekoppelte Bauelement- und Schaltkreissimulation

Betreuer von Arbeiten auf diesem Gebiet:

t. b. d.

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Modellierung analoger Schaltungen

Betreuer von Arbeiten auf diesem Gebiet:

Michael Hinz (Zimmer 1415)